이전 포스팅에서 함수의 극한에 대해서 알아보았다. 그렇지만 "x가 a로 다가갈 때 f(x)는 L에 가까워 진다."는 표현은 매우 애매하고 모호한 표현이다. 그렇기 때문에 이 표현을 좀 더 명확하게 표현하기 위해서 생겨난 것이 바로 입실론-델타 논법이다. 아마 많은 대학생들이 수학을 배우면서 처음 좌절하는 부분이 이부분이 아닐까 생각한다. 이번 포스팅에서 이 입실론 델타 논법에 대해 알아보도록하겠다.
입실론-델타 논법을 이용한 극한의 정의
영어에 친숙하지 않은 사람을 위해 한글로 풀어 써주자면 임의의 즉 어떠한 양수 ε에 대해 적당한 양수 δ가 존재하여 세번째 줄의 식을 만족시키면 함수 f(x)는 x가 a로 다가 갈 때 L에 수렴한다는 의미이다. 처음 접하는 사람은 아마 이게 무슨 소린가 싶을 것이다. 나 또한 그랬다.
입실론-델타 논법을 이해하는데 가장 좋은 방법은 아마 예제를 들어 설명하는 방법이라고 생각한다. 하지만 예제 이전에 이해를 돕기 위해 위의 정의에서 오해할 만한 부분을 짚고 넘어가도록 하자. 위에서 임의라는 말은 영어에서도 확인 할 수 있듯이 모든 양수에 대해서라는 말이다. 즉 임의라고해서 특정한 입실론을 말하는 것이 아니다. 세번째 줄의 식을 좀 더 구체적으로 설명하자면 |x-a|가 델타보다 작으면 |f(x)-L|가 입실론 보다 작음이 성립한다라는 내용인데 여기서 문제를 풀 때 델타가 먼저 정해지고 입실론을 정한다고 오해를 많이 한다. 적당한 입실론을 먼저 잡고 그 입실론에 대한 델타를 찾는 것이다. 더 혼란스러워 졌는가? 아래 예제를 보면 무슨말을 하려 했는지 이해가 될 것이라 생각한다.
입실론-델타 논법 예제
아래 예제와 풀이를 통해 입실론-델타 논법이 어떻게 사용되는지 자세히 알아보자.
간단하게 풀이를 설명하자면 proof.부분 윗부분은 적당한 델타를 찾는 과정이다. 이부분이 아까 위에서 말했던 어떤 입실론에 관해 델타를 찾는다는 말이다. 입실론에 대해 델타를 적당히 표현할 수 있어야한다. proof부터는 우리가 찾은 이 적당한 델타가 진짜 작동하는지 보여주는 과정이다. 풀이에서는 델타는 혼자 계산으로 찾고 proof 부분만 적더라도 무방하다. 사실 나는 처음 이 풀이를 보고도 이게 왜 이 함수값을 정의하는 방법인지 정확히 이해가 되지 않았다. 아마 그런분들이 많을 것이라 생각한다. 나와 같은 분들을 위해 간단한 과정을 통해 이해를 시켜보도록 하겠다.
예를 들어 델타에 0.1을 넣어보자 그 말은 x가 3은 아니지만 3과의 차이가 최대 0.1 이라는 소리이다. 이 때 입실론은 0.4가 되는데 이의 의미는 f(x)의 값이 7과의 차이가 최대 0.4 라는 말이다. 델타를 조금더 줄여볼까? 델타에 0.01을 넣어보면 x가 3은 아니지만 3과의 차이가 최대 0.01이라는 의미이다. 이 때 입실론은 0.04가 되는에 이는 f(x)의 값이 7과의 차이가 최대 0.04라는 말이다. 이런 방식으로 계속한다면 아까 말한 것 처럼 0보다 큰 모든 입실론에 대해 성립을 함으로 매우 작은 입실론을 잡을 경우 델타 또한 매우 작아진다. 즉 입실론을 최대한 극도로 작은 부분까지 보내어 입실론-델타 논법을 사용한 것은 x가 3으로 무한이 다가갈 때 함수값이 7로 수렴한다와 같은말이 된다는 것이다.
사실 입실론-델타 논법을 정확하게 이해 했다면 어떤 문제든 풀 수 있다는 자신감이 생길지도 모른다. 이해를 하면 그리 복잡하지 않은 방법이며 굉장히 명확하고 수학적으로 극한을 정의하는 방법이기 때문이다. 하지만 정작 가장 큰 문제점은 적당한 델타를 찾는 과정이 그리 쉽지만은 않다는 것이다. 위의 예제는 가장 쉬운 문제 중 하나일 뿐이다. 어떻게 함수의 모양을 잘 변화하여 적당한 델타를 찾느냐가 이제부터 여러분들이 해나가야할 숙제이다. (f(x)=루트x 부터 델타를 찾는 과정이 간단하지 많은 않다.) 많은 문제를 접하면서 여러 아이디어를 접하고 그 아이디어들을 문제에 적용하는 능력이 가장 중요할 것이라 생각한다.
다른건 다 이해가 가는데
x가 무한대로 수렴하거나 극한값이 발산할 경우에
0<|x-무한대|<b라 치면 적당한 양수 b가 아예 존재할 수 없지 않음?
무한대는 어떤 실수보다도 큰 수로 정의하고 그 격차도 무한대니까
결국 정의에 따라 b를 실수 내에서 내놓을 수 없는 것 아님?
마찬가지로 발산할 경우에도 0<|x-L|<w라 할 지라도 w를 절대로 실수 내에서 찾을 수 없고
뭔가 잘못 이해한 거 같은데 제대로 설명 좀
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*모바일에서는 일부 수식이 잘려 안보일 수 있습니다
고교 수학에서 미적분학을 공부했으면 필히 함수의 극한에 대해 먼저 공부했을 것이다.
미분과 적분에 모두 함수의 극한 개념이 적용되기 때문이다.
뉴턴에 의해 미적분학의 기본정리가 발견되고 전혀 다른 분야로 발전해왔던
미분과 적분이 통합되면서 미적분학은 크게 발전하게 된다.
하지만 이 과정에서 극한을 계산할 때
어떨 때는 0에 한없이 가까워지는 수지만 0이 아닌것처럼 취급하여 분모에 들어가고
어떨 때는 0처럼 취급하여 계산에서 제외시키는 등
무한소를 다루는 명쾌한 방법을 내놓지 못한 채 미적분학이 발달하다 보니
적용 시키면 안되는 경우에 대해서도 미적분학을 적용시키는 사례도 있었다고 한다.
따라서 극한을 계산하는데 있어 좀 더 엄밀한 정의가 필요했고
19세기에 Augustin Louis Cauchy 라는 수학자에 의해 $\epsilon - \delta$ 논법의 기초 틀이 마련됐다.
'수'라는것은 움직이는 것이 아니다.
그러므로 "$x$ 가 $a$ 에 점점 다가갈 때 $L$ 에 충분히 근접하게 할 수 있다" 와 같은 동적인 표현을
'수'라는 정적인 표현으로 정의해야만 했다.
이러한 방법의 극한을 정의하기 위해 간단한 식에서 출발하자.
$$ \lim_{x\to1} 2x $$
이 계산은 결과가 2일 것으로 예상할 수 있다.
하지만 어떠한 이유로 2라고 할 수 있는 것일까?
극한 안의 식인 \(2x = f(x)\)라 하고
직접 x의 값을 1에 점점 가까워 지는 수를 대입하여 보자.
\(x=0.9 \)부터 시작하여 점점 늘려보자.
\(x=1-0.1\) 이면 \(f(0.9) =1.8\)
\(x=1-0.05\) 이면 \(f(0.95) =1.9\)
\(x=1-0.02\) 이면 \(f(0.98) =1.96\)
\(x=1-0.01\) 이면 \(f(0.99) =1.98\)
이제는 반대로 \(x=1.1\)부터 시작하여 점점 줄여보자.
\(x=1+0.1\) 이면 \(f(1.1) =2.2\)
\(x=1+0.05\) 이면 \(f(1.05) =2.1\)
\(x=1+0.02\) 이면 \(f(1.02) =2.04\)
\(x=1+0.01\) 이면 \(f(1.01) =2.02\)
2로 수렴할 것이라고 예상 된다.
이제 2를 예상 값이라고 하고 2.1이나 1.96처럼 예상값과 약간의 오차가 있는 값을 얻기 위해서
이에 대응하는 x가 어디에 존재하는지 볼 것이다.
위에서
\(x=1-0.1\) 이면 \(f(0.9) =1.8\) 이고
\(x=1+0.1\) 이면 \(f(1.1) =2.2\) 임을 구했다. 따라서
\(f(x)\)의 오차가 0.2 미만으로 나게 하기 위해서는 \(x\)의 오차가 1에서 0.1 이내로 차이나야 한다.
마찬가지로 \(f(x)\)의 오차가 0.1 미만으로 나게 하려면 \(x\)가 1에서 0.05 이내여야 하고
\(f(x)\) 오차가 0.02 이내이려면 \(x\)가 1에서 0.01 이내여야 한다.
그리고 \(f(x)\) 오차를 아무리 작게 잡아도 이에 대응하는 \(x\)의 오차범위가 존재 할것으로 보인다.
(실제로 존재하고 그 과정은 밑에서 보일 것이다)
즉 $2$ 에 가깝지만 $2$ 가 아닌 모든 임의의 값을 도출해내는 $1$ 에 가깝지만 $1$ 이 아닌 $x$ 값이 존재한다는 말이고
이런 상황일 때 \({x\to1}\)일 때 \(f(x)\)의 극한은 \(2\) 이다. 라고 하는 것이다.
여기서 \(f(x)\)의 오차를 \( \epsilon\) (엡실론)이라고 하고
\(x\)의 오차를 \( \delta \) (델타)라고 하면 다음과 같은 표현을 얻는다.
임의의 \( \epsilon>0 \) 에 대해 정의역 내의 \(0 < |x-1|<\delta \) 의 범위에서 \( |f(x)-2|<\epsilon \) 이게 하는 \( \delta > 0 \)가 존재하면
\(\lim\limits_{x\to1} f(x) = 2\)라고 정의한다.
좀 더 일반적으로
임의의 \( \epsilon>0 \) 에 대해 정의역 내의 \(0 < |x-a|<\delta \) 의 범위에서 \( |f(x)-L|<\epsilon \) 이게 하는 \( \delta > 0 \)가 존재하면 다음과 같이 정의한다.
$$ \lim_{x\to a} f(x) = L $$
이제 위에서 언급한 정의대로 \(\lim\limits_{x\to1} f(x) \) 가 2가 되는지 확인할 것이다.
우리는 임의의 \( \epsilon>0 \)에 대해 \(0 < |x-1|<\delta \) 이면 \( |f(x)-2|<\epsilon \) 이게 하는 \( \delta > 0 \)가 존재하는지 궁금한 것이다.
\(f(x) = 2x\)였으므로 \( |f(x)-2| = |2x - 2| = 2|x-1| \) 인데 \( |x-1|<\delta \) 도 만족한다면
\( 2|x-1| < 2\delta \) 이다.
따라서 \(2\delta = \epsilon\), 즉 \(\delta = \dfrac{\epsilon}{2}\) 라고 설정하면
\(\epsilon\)을 아무런 양수로 잡아도 \(0 < |x-1|<\delta \) 일 때
\(|f(x)-2|\)\(=|2x-2|=2|x-1|\) \(<\) \(2\times\delta = 2\times\dfrac{\epsilon}{2} =\) \( \epsilon \) 을 만족한다.
따라서 정의에 의해 \(\lim\limits_{x\to1} f(x) = 2 \) 이다.
무한극한에 대해서도 엄밀한 방법으로 정의될 수 있다.
\( f \) 는 수 \(a\)를 포함하는 어떤 개구간(\(a\)는 제외 가능)에서 정의된 함수라 하자.
임의의 양의 실수 \( M > 0\)에 대해 \( 0 < |x-a| < \delta\) \(\Longrightarrow \) \( f(x) > M \)을 만족하는
\(\delta > 0\) 이 존재하면 \(f\) 의 \(a\)로의 극한은 \(\infty\)로 발산한다 라고 하고
(극한이 존재 하는것은 아님) 다음과 같이 적는다.
$$ \lim_{x \to a} f(x) = \infty $$
위에서 보인 극한의 정의의 방법으로 $$ \lim_{x\to a} x = a $$ 임을 보일 수 있고 다음 포스팅에서 다룰 규칙들에 의해 좀 더 복잡한 다항식이나 유리식들에 대한 극한을 계산할 수 있게 해준다.
오늘 다룬 \(\epsilon-\delta\) 논법의 핵심은 \(\delta\)의 존재성을 보이는것이다.
이후에 올릴 연습문제 포스팅에서 몇몇 연습문제들을 풀이할 예정인데, 어떻게 \(\epsilon\)과 연관된 부등식에서 \(\delta\)와 연관된 부등식으로 이끌어내는지 보일 것이다.
이전 포스팅 : 1. 함수의 극한 (Limits of functions)
다음 포스팅 : 3. 극한법칙과 압축정리 (Limit Laws and Squeeze Theorem)