인간은 절대 합리적으로만 사고할 수 없다. 행동경제학이나 심리학 서적을 보면 인간이 합리적으로 사고하지 않는 다양한 경우를 관찰할 수 있다. 오늘은 이 중 확률에 관한 부분을 위주로 살펴보겠다. 학생들은..
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우리가 사용하는 다양한 판단 전략 중, 대표성 전략이라는 것이 있습니다.
대표성 전략 : 표본의 크기에 관계없이 모집단과 유사할 것을 기대하거나,
표본을 추출하는 과정이 무작위성을 반영하기를 기대하는 것이죠.
이 중 후자를 좀 더 살펴봅시다.
우리가 확률을 제대로 배웠다면,
동전 던지기는 독립 시행이고, 각각의 확률은 모두 동일하단 것을 압니다.
동전 여섯개를 던지면, TTTHHH와 THHTTH가 나올 확률이 같죠.
로또복권도 마찬가지입니다. 1,2,3,4,5,6이 나올 확률과, 2,5,14,28,31,20은 당첨될 확률이 같습니다.
그렇지만 후자의 결과가 좀 더 무작위로 나온 것 같죠?
그래서 우리는 후자가 더 당첨될 확률이 높다고 생각하게 됩니다.
한 통계학 교수는 매년 강의를 시작하면서 학생들에게 동전을 백번 던졌다고 상상해서 그 일련의 결과를 기록해보도록 한다. 그리고 한 학생에게는 실제로 동전 던지기를 해서 결과를 기록하도록 한다. 교수가 자리를 비운 15분 동안 학생들은 그 지시에 따라 작성한 결과물을 교탁 위에 올려둔다. 다시 자리로 돌아온 교수는 학생들이 제출한 30개 결과물 중에서 실제 동전 던지기로 작성한 것을 한 번에 알아맞히겠다고 한다. 실제로 그 교수는 해마다 계속해서 정확하게 알아맞혀서 학생들을 깜짝 놀라게 한다. 대체 무슨 마술을 부린 것일까? 교수는 H(앞면) 혹은 T(뒷면)가 가장 길게 연속으로 나온 결과물이 실제 동전 던지기로 얻은 것일 가능성이 높다는 사실을 알고 있다. 그 이유는 (사실상 두 가지의 확률은 동일한) HHHHHTTTTT나 HTHTHTHTHT 중에서 어떤 것이 나올 확률이 더 높은지 물었을 때 대부분이 후자를 '좀 더 무작위한' 결과로 꼽는다. 그렇기 때문에 학생들은 상상의 결과를 HHHTTTHHHH가 아니라 HHTTHTHTTT와 같은 형태로 적어내는 경향이 있다.
랜덤워크 주식투자 293-294p
아래는 버턴 말킬의 '랜덤워크 투자 수업'이란 책의 내용 중 일부입니다.
주식시장에서 패턴이 반복된다는 믿음은 통계적 환상에 불과하다.
이러한 사실을 입증하기 위해 나는 학생들과 함께 실험 한 가지를 했다.
나는 학생들에게 50달러로 시작하는 가상 주식의 움직임을 보여주는 도표를 만들기로 했다.
여기서 거래일의 종가는 동전 던지기로 결정한다.
즉, 동전을 던져 앞면이 나오면 주식 가격은 전날보다 0.5포인트 상승하고, 반대로 뒷면이 나오면 0.5포인트 하락하게 된다.
사실 위 도표는 바로 이러한 방법으로 만들어진 가상 주식 그래프다.
그런데 놀랍게도 동전 던지기로 완성한 도표가 진자 주식 그래프처럼 보인다. 여기서 중요한 사실은 규칙성이 존재하지 않는다는 점이다. 도표에 나타난 '주기'는 도박사의 행운과 마찬가지로 진짜 주기가 아니다. 그리고 일정 기간 주식이 상승세에 있다는 사실은 현재의 상승 흐름이나 그 지속 기간에 대해 어떠한 정보도 알려주지 않는다.
그렇다. 주식 시장의 역사는 반복되는 경향이 있지만 놀랍게도 드러나는 형태는 무한대이기 때문에 과거의 가격 패턴에 관한 정보를 이용해서 수익을 올리려는 시도가 소용 없는 것이다.
학생들이 동전 던지기로 만든 또 다른 도표를 보면, 머리 어깨형이나 삼중 천장 바닥형 등 특징적인 패턴을 확인할 수 있다.
학생들은 완전히 무작위 한 방식으로 주식 도표를 만들었다. 이 말은 동전에 문제가 없는 이상 던질 때마다 앞면이 나올 확률, 즉 주가가 상승할 확률이 50퍼센트이고 뒷면이 나올 확률, 즉 하락할 확률이 50퍼센트라는 뜻이다.
만일 앞면이 연속으로 여러번 나왔다고 해도 다음번에 앞면이 나올 확률은 여전히 50퍼센트다.
수학자들은 학생들이 만든 주식 도표처럼 무작위로 생성된 숫자의 연속을 랜덤워크라 부른다. 이런 도표에 있는 과거 자료를 가지고서는 앞으로의 흐름을 전혀 예측하지 못한다.
물론 주식 시장이 수학자가 말하는 이상적인 상태, 즉 현재 가격이 과거 내력과 완전히 독립적인 상태라는 말이 다 맞는 것은 아니다. (중략)...단기 모멘텀에 의존해서는 시장을 이기기 위해 확실한 전략을 세울 수 없다.
랜덤워크 주식투자 181-183p
아래는 이전에 TV 조선 탐사보도 세븐에서 반영된 강원랜드 타짜의 일기장 편입니다.
강원랜드에서 도박에 중독된- 도박 중독자들의 모습을 살펴보면, 정말 열심히 카지노의 패턴을 분석하고 추측해서 연구하는 모습이 나오죠. 카지노의 패턴 역시 반복되는 경향을 보이기 때문에, 대박을 노리면서 열심히 나름의 연구를 하는 것인데-, 심지어 카지노는 주식과 달리 각 시행이 모두 독립이죠. 그래서 과거의 패턴이 앞으로의 단기적인 미래를 예측하는 데 전혀 도움이 되지 않습니다.
마침 수학2에서 미분을 배우죠. 즉 '곡선 위의 한 점을 지나며 기울기가 그 점에서의 미분계수와 같은 직선'으로 정의합니다. 이 경우 관통하거나 두 점에서 만나도 상관없죠. 그리고 스치면서 지난다는 표현도 훨씬 정교하게 정의하게 됩니다.
그런데 생각해봅시다. 미분계수가 없으면 접선을 못 그을까요?
특히나 이렇게 뾰족한 함수는 미분이 불가능하기 때문에, 미분계수를 구할 수 없죠.
그렇지만 이 역시나 위의 원처럼
y축(x=0)이 접선으로 보이지는 않나요?
결국 우리는 할선의 극한으로 다시 접선을 정의할 수 있습니다.
미분계수가 존재하지 않지만
할선의 극한으로는 아래와 같이 정의가 가능하죠.
아래와 같이 원의 경우에도 x=2가 접선인데,
이 역시 할선의 극한으로는 정의 가능합니다.
이런 개념을 정립하는 과정에서,
미분 가능하면 접선이 존재하지만,
역은 성립하지 않는다는 것도
다양한 반례를 통해 알 수 있죠.
정리해볼까요?
우리는 접선을 통해 반례를 통한 기존 지식의 수정이 어떻게 일어나는 지를 살펴보았습니다.
원래 있던 기존 지식에 반하는 예시가 등장함으로써, 이를 받아들이면서 점점 나아가는 모습이죠.
다음번에는 이렇게 살펴본 접선의 개념 변화를 교사는 어떻게 지도하면 좋을지도 한 번 써보도록 하겠습니다. 다음 포스팅은 교육 계열을 지망하는 학생들에게 좋은 아이디어가 될 것 같네요.
거창한 소논문 NO! 순수한 호기심이 최고의 주제
<수학과제탐구>는 ‘수학’을 활용해 특정 ‘과제’를 탐구하는 과목이다. 생소한 과목이기에 과고처럼 소논문을 작성하거나 거창한 주제를 정해 탐구 보고서를 작성해야 한다고 생각하기 쉽지만, 그럴 필요가 전혀 없는 과목이라는 게 <수학과제탐구> 수업을 진행한 수학 교사들의 설명이다. 실제 수업 운영 사례와 함께 <수학과제탐구>의 핵심인 주제 찾는 노하우를 소개한다. 일단 부담감부터 떨쳐버리길!
취재 민경순 리포터 hellela@naeil.com
도움말 김영선 교사(경남 남해해성고등학교)·김미주 교사(서울 하나고등학교) 임금림 교사(충남 논산대건고등학교)
소논문 주제를 찾아야 한다는 부담부터 버릴 것!
<수학과제탐구>는 진로선택 과목으로, 올해 3학년을 기준으로 보면 2학년에 편성된 학교보다는 3학년에 편성된 경우가 많다. 코로나19로 개학이 연기되면서 정상적인 수업 진행이 어려운 상황이지만, ‘집콕 과제’로 <수학과제탐구> 주제 고민하기를 숙제로 내준 학교들도 있을 것이다.
<수학과제탐구> 모델 교과서 집필에 참여했던 서울 하나고 김미주 교사는 “<수학과제탐구>는 과고 소논문 수준의 어려운 탐구 보고서를 작성하자는 목적으로 만들어진 과목이 아니다. 생활 속 궁금했던 것 또는 수학 공부를 하다가 궁금했던 내용, 더 알아보고 싶었던 것, 수학 교양 도서를 읽다가 궁금했던 것 등 어떤 주제라도 괜찮다. 그 속에서 수학적 성질을 찾고, 탐구해보자는 데 의미가 있다. 거창한 주제로 진행하다가 막혀서 주제 선정부터 다시 하는 경우를 많이 봤다. 순수한 호기심에서 시작하는 게 가장 내실 있는 주제가 될 수 있다”고 설명한다.
◈ 2015 개정 교육과정에서는 학생들이 공통 과목을 통해 기초 소양을 함양한 뒤, 진로에 따라 다양한 과목 선택이 가능합니다. 그런 만큼 학생들은 어떤 과목을 선택해야 할지 고민에 빠질 수밖에 없는데요. 상대적으로 정보가 부족한 선택 과목을 중심으로 심층적 이해를 돕는 연재 기사를 마련했습니다. 해당 과목의 효과적인 활용과 수업 사례, 평가 방법까지 생생히 전해드리겠습니다. _편집자
방정식에서 허근은 좌표평면에 표현할 수 없다는 것을 배웠다면 복소수를 좌표평면에 시각적으로 나타내는 방법을 탐구해볼 수도 있고, 수학 교과서에서 단원 끝에 소개하는 ‘읽기자료’ 코너를 활용해 주제를 선정할 수도 있다. 김 교사는 “만약 수학 교과서의 읽기 자료에 나온 2×2 큐브에 색칠 가능한 경우의 수 내용을 읽었다면 N×N 큐브의 색칠 경우의 수 공식을 유추하는 과제 탐구를 주제로 정할 수도 있다. 또는 학교 급식 메뉴와 매점 매출과의 관계를 탐구할 수도 있고, 매점 구매 품목을 조사해 마케팅 전략을 세워볼 수도 있다. 평소 관심 있는 분야에서 주제를 찾아보면 크게 어렵지 않을 것”이라고 조언한다.
<수학과제탐구>는 교과서는 없지만 교육부와 한국과학창의재단에서 모델 교과서와 사례집을 제작해 학교에 배포했다. 따라서 합의된 큰 틀 속에서 다양한 주제와 방식으로 수업이 진행된다. 물론 학생이나 교사의 역량에 따라 수업 방식이나 수준은 다양할 수 있다.
충남 논산대건고 임금림 교사는 “<수학과제탐구>에서는 문헌 연구, 사례 조사, 수학 실험, 개발 연구 등 4가지 탐구 방법을 제시한다. 각 탐구 방법에 해당하는 예시를 통해 학생들은 궁금한 주제를 어떤 방식으로 접근해야 하는지를 배운다. 온라인 개학으로 수행평가의 일부 수정이 불가피한 상황이지만 논산대건고는 주제 선정 발표, 탐구 결과 발표, 논문 요약, 수학 ucc 만들기 등으로 시행할 예정이었다”고 설명한다.
■ 알고 있는 물체의 둘레의 길이를 이용해 곡선의 길이를 측정하는 방법을 제안했던 보고서.
■ 네이버 지도의 위성 사진을 활용해 학교 운동장의 면적을 구했던 수행평가.
<수학과제탐구>를 공부하다 보면 설문이나 자료 분석, 통계를 활용하는 경우가 많은데, 임 교사는 “통계청에서 개발한 실용통계 프로그램 ‘통그라미(tong.kostat.go.kr)’를 이용하면 설문지 만들기, 자료 수집, 통계 분석, 보고서 작성까지 가능하므로, 활용해보면 좋다”고 귀띔한다.
작년에 2학년을 대상으로 <수학과제탐구>를 진행했던 경남남해해성고 김영선 교사는 “2학년은 수학을 깊이 있게 공부한 상태가 아니어서 수학적 깊이보다는 실생활 속에서 또는 진로와 연관해 다양한 수학적 상상력을 유발하려고 노력했다. 평가는 생활 속 곡선의 넓이 측정 탐구, 수학 탐구와 관련된 독서 활동 보고서, 진로와 관련된 수학적 문제점 분석, 교과서에서 본 여러 가지 현상에 대한 탐구 보고서 작성 등 4번의 수행평가를 진행했다”고 전했다. 생활 속 곡선의 넓이 측정 탐구 주제로는 다양한 방법을 활용해 다각형과 곡선이 섞인 학교 운동장의 면적을 측정하게 했다. 학생들은 단위면적당 풀의 양을 측정하거나 자전거 바퀴를 굴려 원주를 활용하는 방법, 인터넷 지도 활용 등 운동장의 면적을 측정하는 다양한 방법을 제시했다. 진로와 연계해 김 교사는 “학생들의 생각이 수학적으로 또는 논리적으로 맞지 않는 경우도 있었지만, 주어진 문제를 어떻게 해결해나갈 수 있을지 방법을 탐색하고 활동해보는 과정을 통해 수학적 사고력을 확장할 수 있었다”고 덧붙였다.
Mini interview <수학과제탐구> 배워보니
운동장 면적 구하기, 독서실 찾는 이유 수학적으로 바라보기
Q. <수학과제탐구>를 선택한 이유는? 관심 진로는?
평소 궁금했던 내용이나 교과서에서 배운 내용을 활용해 수학적 근거를 탐구하는 과목이라는 점이 끌려서 선택했다. 수학적 내용이 다양한 분야에 활용된다는 걸 알면 수학 공부를 더 열심히 할 수 있다고 생각했던 것도 선택 이유였다. 건축학과와 산업디자인학과 진학을 고려 중이다.
운동장 면적을 다양한 방법으로 구해본 수업은 막연하면서도 신선했다. 여러 방법을 고민하다가 인터넷 지도로 학교 운동장을 검색, 운동장 모양을 본떠 다각형으로 표현할 수 있는 부분과 곡면으로 표현되는 부분을 구분한 뒤 곡면으로 표현된 부분을 좌표평면에 붙여봤다. 그랬더니 삼차함수 모양이 나왔고, 정적분을 이용해 넓이를 구할 수 있었다.
평소 공부할 수 있는 공간이 많은데, 왜 우리는 돈을 주고 독서실을 다닐까 궁금했었기에, 이 주제로 사례 조사를 했다. ‘독서실 공간 디자인이 학교 교실보다 집중이 잘 되게 되어있다’는 가설을 설정하고, 독서실의 공간, 조명, 가구 등의 영향 관련 자료와 설문 결과를 토대로 결론을 도출했다.