2022 수능 수학 20번 - 2022 suneung suhag 20beon

[오답률 탑10-공통] 2022학년도 대학수능 수학 공통문항 기출문제의 풀이 및 해설

이 게시글은

2021년 11월 18일 목요일에 치른

2022학년도 대학수학능력시험 수학 기출문제 오답률 TOP 10 공통문항에 대한 풀이 및 해설입니다.

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오답률과 등급컷은 확통, 미적, 기하의 각 선택 과목을 기준으로 작성되며, 이 데이터와 선택 과목의 풀이 및 해설은 아래 별도의 게시글을 참조하십시오.

[오답률 탑10-기하] 2022학년도 대학수능 기하선택 기출문제의 풀이 및 해설

[오답률 탑10-미적] 2022학년도 대학수능 미적선택 기출문제의 풀이 및 해설

[오답률 탑10-확통] 2022학년도 대학수능 확통선택 기출문제의 풀이 및 해설

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문이과 통합에 따라 새로운 형식으로 치른 첫 수능이었지요...

2021년 3월부터 10월까지 치른 학평 및 모평 수학 기출문제 전체, 그리고 최근년도 수능 수학 가형, 나형 고난이도 기출문제 전체의 풀이 및 해설에 대한 링크를 이 포스팅의 맨끝에 모두 수록해 두었습니다.

함께 참조하십시오.

[오답률 탑10] 3월학평부터 10월학평까지 고난이도 문항 총정리 및 풀이해설집 안내

오답률 95.0% 22번 문제의 풀이 및 해설

기하 2위, 미적 2위, 확통 2위

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아래 애니메이션에서 파란색은 이차방정식 f'(x) = 0의 두 근 α, β를 보여 주고 있습니다.

조건 (가), 모든 실수 a에서 g(t)의 우극한과 좌극한의 합이 2이하이다. 3이상이 아니다가 무슨 의미인지 바로 다가오지 않습니다. g(t)의 그래프가 모든 실수 t에 대하여 0, 1, 2만을 함숫값으로 가지는 불연속의 그래프죠. 그려보면 감이 오겠구나 싶습니다.

β - α > 2인 경우, β - α = 2인 경우, 0 < β - α < 2인 경우, β = α인 경우, 그리고 허근인 경우...

조건 (나)에서 g(t)의 함숫값에 2 또는 1이 존재하는 걸로 보아, 이차방정식 f'(x) = 0은 서로 다른 두 실근을 가져야 합니다. 어떤 실수 t에 대하여 닫힌 구간 [t, t + 2]에 존재하는 실근의 개수가 g(t)인데,,, t의 값에 따라 g(t)의 함숫값은 0, 1, 2 셋 중의 하나이고, 함숫값이 2가 존재한다는 것은 이차방정식 f'(x) = 0이 서로 다른 두 실근을 가지지 않고는 불가능하지요...

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우선, 서로 다른 두 실근의 차가 2인 경우에 대하여 y = g(t)의 그래프를 주황색으로 그려 보았습니다.

조건 (가)가 충족되고 있음을 핑크색으로 확인하고 있습니다.

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β - α가 t의 구간폭인 2보다 작거나 큰 경우에 조건 (가), (나)가 충족되고 있는지를 살펴 보아야 겠습니다. 조건 (가)에서 임의의 실수 a에 대하여 g(t)의 좌극한과 우극한의 합이 2보다 커서는 안된다고 하였는데,,,

β - α < 2인 경우는 g(t) = 2를 만족하는 t값이 연속적인 경우가 존재하므로 이때 g(t)의 좌극한과 우극한의 합은 불연속점인 양끝에서 3이겠고, 연속 구간에서는 4가 되므로 조건 (가)를 위반하게 될 것이고,

β - α > 2인 경우는 β - α = 2일 때 g(α)만이 2였음을 생각하면, β - α가 2보다 커버리면 닫힌구간 [t, t + 2]에서 g(t) = 2가 되는 경우가 존재하지 않게 되지요... 그렇다면 조건 (나)를 위반하게 되고,,,

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따라서 β - α = 2여야 합니다...

아래 애니메이션은 β - α가 2보다 작거나 큰 경우의 함수 g(t)의 그래프입니다.

g(t)의 함숫값이 2가 될 때는 t = α일 때가 유일하죠... 그렇다면, f(1) = f(4) = α

g(t)의 함숫값이 1이 될 때는 α - 2 ≤ f(0) = C ≤ α + 2이므로

α = 1, C = -1일 때 부등식 성립...

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따라서

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오답률 89.0% 20번 문제의 풀이 및 해설

기하 4위, 미적 3위, 확통 4위

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아래에서와 같이 1 ≤ x ≤ 2 범위의 x에 대해서만 f(x)를 구하면 문제의 답을 얻을 수 있는 아주 쉬운 문제입니다... 실수 전체의 집합에서 미분가능한 f(x), 조건 (나)에서 x > 0일 때의 함수식으로부터 일반적으로 접근할 수도 있겠으나,,, 목표식의 정적분 구간이 [1, 2]임을 생각하여 이 구간에만 집중해야 겠다고 생각하면 곧바로 이와 같은 풀이를 할 수 있게 되지요... ㅎ

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오답률 77.0% 21번 문제의 풀이 및 해설

기하 5위, 미적 5위, 확통 6위

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| a1| = 2, | a2| = 4, | a3| = 8, …

| an| = 2n이죠...

a1 + a2 + … + a10 = -14일 때, 홀수번째 항들의 합 a1 + a3 + … + a9를 구하는 문제...

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210 = 1024, 29 = 512이고, 21 + 22 + … + 29 = 2(29 - 1) / (2 - 1) = 1022이죠...

a10 = -1024, 나머지 아홉 개의 항이 모두 양수라고 가정하면 ∑ 총합이 -2가 되는군요...

총합 -14와의 차이는 12

아홉 개의 항 중에서 12의 절반인 6이 +에서 -로 바뀌면 되고 2 + 4 = 6이므로

a1 = -2, a2 = -4이면 되겠군요...

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검산하면

-(2 + 4) + (8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512) - 1024 = -14

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이상에서,,,

a1 + a3 + … + a9 = -2 + 8 + 32 + 128 + 512 = 678

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모범 풀이가 곧바로 나오는 것은 아니지요...

수 감각과 시행착오, 방향전환의 순발력 등등이 늘 필요합니다. 웬만하면 습작도 남기고는 하는데, 일일이 소개할 수는 없잖아요...

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오답률 73.0% 14번 문제의 풀이 및 해설

기하 6위, 미적 6위, 확통 7위

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아래 애니메이션에서

핑크색 타원으로 표시한 부분 !!!

구간 [0, 1]에서 속도함수의 정적분은 위치의 변화량이고, 속도함수의 절댓값의 정적분은 움직인 거리라는 거!!! 이 개념을 꼭 챙겨야 겠고,,, 그림들은 이 개념을 보충 설명하기 위한 용도입니다..

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파란색, 보라색 그래프는 각각 삼차함수 x(t), 이차함수 v(t)의 그래프입니다.

해설참조 내지는 감상용으로 그려 넣었습니다.

x(0) = x(1) = 0인 삼차함수 x(t)에 대하여,

아래 그림은 구간 [0, 1]에서 유일한 극대값 1을 가지는 경우입니다. 주황색으로 표시한 수직선 운동을 하는 점 P를 보시면, 이 경우 움직인 거리가 2라는 것을 확실히 알 수가 있지요...

구간 [0, 1]에서 유일한 극솟값 -1을 가지는 경우는 점 P가 반대방향으로 움직이는 차이가 있을 뿐, 움직인 거리는 여전히 2일 것이고, 또 위치의 변화량은 여전히 0이겠지요...

조건 ㄴ.

구간 (0, 1)에서 x(t)의 값이 1보다 크거나 -1보다 작은 경우가 존재한다면 수직선 운동을 하는 점 P가 움직인 거리는 2보다 커지기 때문에 조건 ㄴ은 거짓이지요...

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삼차함수 x(t) = t(t - 1)(at + b)에서 at + b = 0을 만족하는 t가 구간 (0, 1)에 존재하는 경우도 구간 [0, 1]에서 점 P가 움직인 거리가 2가 될 수 있습니다.

이때는 구간 [0, 1]의 모든 t에 대하여 -1 < x(t) < 1이어야 겠습니다...

보다 정확히 말하면, 삼차함수 x(t)의 극댓값과 극솟값의 차가 1일 때 직선 운동을 하는 점 P의 이동 거리가 2가 되지요...

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이상에서,,,

<보기> ㄱ,ㄷ만이 참! 정답은 오지선다형 ③번

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오답률 66.0% 15번 문제의 풀이 및 해설

기하 8위, 미적 7위, 확통 8위

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아래,,, 주황색 직각삼각형에서 시작하여 고동색, 보라색 순서로 살피시면 됩니다.

정답은 오지선다형 ②번

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오답률 59.0% 13번 문제의 풀이 및 해설

기하 10위, 미적 9위, 확통 9위

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아래 애니메이션의 핑크색 삼각형에서 파란색 두 선분의 길이가 같고, 보라색 두 선분의 길이가 같으면, 고동색, 주황색 두 직선의 교점은 x축 위에 놓입니다.

그런데, 두 직선의 y절편이 같다고 하였으므로 두 직선이 원점에서 만날 때입니다.

이 때를 정리하면 ab = ba

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위 풀이에서와 같이 도형 관계로든 직선의 방정식으로 두 직선의 교점이 x축 위에 있다는 것을 알아 내면 그 다음은 위에서와 같이 간단하게 마무리 됩니다만,,,

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교점이 x축 위에 놓임을 파악하지 못했다면,,, 아래에서와 같이 y절편만을 단순 비교해야하는데, 그만큼 계산 부담이 커진다 해야겠지요...

고동색 직선의 y절편과 주황색 직선의 y절편을 얻어서 같다고 놓고 정리해보면,,,

이상에서,,, 정답은 오지선다형 ②번

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오답률 54.0% 12번 문제의 풀이 및 해설

기하 11위, 미적 11위, 확통 11위

f(x)의 최댓값이 1이고 최솟값이 0이며, 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 f(x)가 모든 실수 x에 대하여 위 등식을 만족시킨다고 하였습니다.

그렇다면,,,

정답은 오지선다형 ③번

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오답률 54.0% 10번 문제의 풀이 및 해설

기하 12위, 미적 12위, 확통 12위

[오답률 탑 10] 2021학년도 대학수능 수학 나형 기출문제의 풀이 및 해설

[오답률 베스트 10] 2020학년도 대학수능 수학 나형 기출문제의 풀이 및 해설

[수학1등급] 다시 보는 2019 대학수능 수학 나형 오답률 베스트 10 - 난도의 재구성

[오답률 베스트 5] 2019학년도 대학수능 수학 나형 기출문제의 풀이 및 해설

[수능30번] 2019학년도 대학수능 수학 나형 30번 기출문제 풀이 및 해설

[수능29번] 2019학년도 대학수능 수학 나형 29번 기출문제 풀이 및 해설

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[수능30번] 2018학년도 대학수능 수학 나형 30번 기출문제 풀이 및 해설

[수학1등급] 2018학년도 대학수능 수학 나형 21번, 29번 기출문제 풀이 및 해설

[수학1등급] 2017학년도 대학수능 수학 나형 21번, 29번, 30번 기출문제 풀이 해설

[수능30번] 2016학년도 대학수능 수학 A형 30번 기출문제 풀이 및 해설

[수학1등급] 2016학년도 대학수능 수학 A형 21번, 29번, 28번 기출문제 풀이 해설

[수학1등급] 2015학년도 대학수능 수학 A형 21번, 29번, 30번 기출문제 풀이 해설

[수학1등급] 2014학년도 대학수능 수학 A형 21번, 29번, 30번 기출문제 풀이 해설

[수학1등급] 2013학년도 대학수능 수학 나형 21번, 29번, 30번 기출문제 풀이 해설

[수학1등급] 2012학년도 대학수능 수학 나형 21번, 28번, 30번 기출문제 풀이 해설

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대학 수능 고난도 킬러 문제, 수능 30번, 수능 29번, 그리고 수능 21번...

그리고 최근 출제 경향에 따른 오답률 베스트 5와 탑10,

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