모든 모서리 길이의 합 공식 - modeun moseoli gil-iui hab gongsig

안녕하세요. 혀코입니다.

오늘은 각기둥, 각뿔, 정다면체의 꼭지점, 모서리, 면의 개수를 구하는 방법에 대해서 알아보겠습니다.

각기둥, 각뿔, 정다면체에서 공통적으로 적용되는 공식이 하나 있습니다.

바로 오일러의 공식입니다.

꼭지점의 수 + 면의 수 - 모서리의 수 = 2

꼭지점의 수와 면의 수가 주어지는 경우의 모서리의 수를 구하려면 

꼭지점의 수 + 면의 수 - 2 = 모서리의 수 

이렇게 계산하시면 됩니다.

각기둥

각뿔

정다면체

정다면체는 모든 면이 서로 합동인 정다각형이고, 각 꼭지점에 모이는 변의 개수가 모두 같은 다면체로 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체 이렇게 5개 종류가 있습니다.

정다면체가 5개 종류 밖에 없는 이유는 정삼각형의 경우 6개 이상의 경우 360도가 되어 평면이 되고, 정사각형의 경우 4개 이상의 경우 360도가 되어 평면이 되고, 정오각형의 경우 4개 이상의 경우 360도가 넘어 입체를 만들기 어렵고 정육각형의 경우 3개만 있어도 한 꼭지점에 모이는 각이 360도가 되어 평면이 되기 때문에 입체를 만들지 못하기 때문에 정다면체는 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체 이렇게 5개 종류 밖에 없습니다.

정다면체의 꼭지점의 개수는 면의 수 * 한 면의 각의 수 / 한 꼭지점에 모이는 모서리의 수 이렇게 구할 수 있습니다. 따라서,  각 정다면체의 꼭지점의 개수는 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

정사면체 : 4(4면) x 3(삼각형) / 3 = 4  

정육면체 : 6(6면) x 4(사각형) / 3 = 8

정팔면체 : 8(8면) x 3(삼각형) / 4 = 6

정십이면체 : 12(12면) x 5(오각형) / 3 = 20

정이십면체 : 20(20면) x 3(삼각형) / 5 = 12

모서리의 수는 오일러의 공식에 따라서 "꼭지점의 수 + 면의 수 - 2 = 모서리의 수" 이렇게 계산할 수 있습니다.

이렇게 각기둥, 각뿔, 정다면체의 꼭지점, 모서리, 면의 개수를 구하는 방법에 대해서 알아봤습니다.

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감사합니다.

질문 내용

수학 - 수학(상) - 다항식

모든 모서리니까 40아닌가요...?? 학교 선생님이 10이라고 하셔서..ㅜㅜㅠㅠㅠ

답변 내용

빅토리박

튜터

경희대학교ㅣ식물환경신소재공학과

선생님 관점서, '모든 모서리의 합'이라 함은, 가로+세로+높이로 종류별로 하나씩 합하는 걸로 해석해서 그런 관점의 차이가 발생한 것 같아요! (그리고, 저도 그렇게 생각했습니다.) 모든 '변'의 길이는 40이 맞지만, 모든 '모서리'길이는 가로+세로+높이 가 된답니다!! 도움이 되기를 바래요!

질문과 관련있는 개념

# 곱셈공식

이 글에서는 입체도형 그러니까 직육면체와 정육면체의 대각선의 길이를 구하는 방법을 알아볼 거예에요.

대각선의 길이 구하는 공식에서 직사각형의 대각선의 길이를 구하는 방법을 알아봤어요. 직육면체는 직사각형 여섯 개가 모여있는 거에요. 따라서 직육면체의 대각선의 길이 구하는 건 직사각형 대각선 길이 구하기의 연장선이라고 할 수 있죠.

정육면체는 정사각형 여섯 개가 모인 입체도형으로 모든 모서리의 길이가 같으니까 직육면체의 대각선 길이 구하는 방법에서 모서리 길이만 바꾸면 구할 수 있어요.

직육면체 대각선의 길이

아래 그림처럼 직육면체의 대각선 길이는 위에 있는 밑면의 한 꼭짓점에서 아래에 있는 밑면의 반대쪽 꼭짓점까지의 길이 를 말해요.

피타고라스의 정리를 이용하려면 직각삼각형을 만들어야 하는데, 어떤 직각삼각형을 만들어야 의 길이를 구할 수 있을까요? 를 빗변으로 하고, 를 높이, 를 밑변으로 하는 직각삼각형 △ACG를 그릴 수 있겠죠?

그런데 여기서 의 길이도 몰라요. 의 길이를 알려면 새로운 직각삼각형을 그려야겠죠? 바로 △ABC 말이에요.

△ABC에서 는 빗변이니까 = a2 + b2이 돼요.

자 다시 △ACG로 돌아가서 가 빗변이니까

 =  + 
 = a2 + b2 + c2
 =

세 변의 길이가 a, b, c인 직육면체 대각선의 길이 =
두 변의 길이가 a, b인 직사각형 대각선의 길이 =

밑면의 가로 길이가 5cm, 밑면의 세로 길이가 10cm, 높이가 8cm인 상자가 있다. 이 상자의 대각선 길이를 구하여라.

대각선의 길이 = 이므로 대입하면

정육면체 대각선의 길이

정육면체는 모든 모서리의 길이가 같은 직육면체죠? 따라서 모든 모서리의 길이가 a에요. 직육면체 대각선 길이 구하는 공식에 그대로 넣어보죠.

정육면체 대각선의 길이 공식은 외우면 좋긴 하겠지만, 꼭 외워야 하는 공식은 아니에요. 그냥 직육면체 대각선의 길이 공식에 대입해서 구할 수 있으니까요. 하지만 방법은 알고 있어야겠죠?

참고로 정사각형 대각선의 길이 구하는 공식은 였어요.

모든 모서리의 길이가 5cm인 정육면체 대각선의 길이를 구하여라.

대각선의 길이 = (cm)

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입체도형 대각선의 길이