무한대 분의 무한대 극한 - muhandae bun-ui muhandae geughan

극한의 개념을 설명하는 포스팅에서 ∞/∞와 ∞-∞에 대해서 궁금해하시는 분이 계시더라고요.

사실 이 부분은 극한의 전반적이고 밑바탕이 되는 개념을 이해하고 있어야 '왜 루트빼기꼴은 유리화를 해야 하는지' 이해가 가는 부분입니다.

이것을 댓글로 설명하려다가 한계를 느껴서 이쪽의 개념을 명확하게 이해하지 못하는 분들에게 설명드리려고 포스팅을 해봅니다.

1. 극한의 개념

우선 극한의 개념부터 잡아보도록 하죠.

극한은 수학기호로 limit의 앞 세글자를 따서, lim라고 표현하는데요.

이 극한은 사실 '이동'을 바탕으로 한 수학적 개념입니다.

두산백과 '극한' 부분을 발췌해 볼까요.

접근(接近)을 바탕으로 한 수학적 개념이다. 함수 f(x)에서 x가 어떤 값 a에 한없이 가까워짐에 따라 f(x)도 어떤 값 b에 한없이 가까워질 때, b를 f(x)의 극한 또는 극한값이라 한다. - 두산백과 '극한'

2. 화살표, 등호의 구분과 극한(값)

아무튼 극한은 접근, 즉, '이동'의 속성을 가지는 개념인데요.

그 접근을 화살표(→)로 표기합니다.

예를 들어, n이 3으로 가까이 간다면 n→3 이렇게 표현하는 식입니다.

그러면 n이 계속 커지는 것을 어떻게 표현할까요? n→∞ 이렇게 "n이 무한하게 커진다." 또는 "n이 무한대로 커진다.", "n이 무한대로 간다."라고 표현합니다. 

그런데 중요한 것은 화살표와 등호를 수학에서는 확실히 구분짓고 있다는 사실입니다.

아래는 교과서에서 극한의 정의인데요. 살펴보도록 하죠.

보시다시피 왼변은 접근의 개념인 화살표로 n이 무한대로갈 때, an이 A로 다가간다면

극한에서는 딱 A로 취급하겠다는 의미입니다.

즉, lim의 결과값은 접근의 개념이 아니라 도착지 자체를 끌어내겠다는 의미입니다.

예를 들어서, 내가 부산으로 가는 KTX를 탔다고 한다면 나는 부산으로 접근중이지만 아직 부산은 아니죠? 

하지만 '내 몸'이 가는 도착지는 부산입니다.

그래서 '내 몸'의 극한을 구하라고한다면 내 몸의 극한은 딱 '부산'이 된다는 의미입니다.

우리도 결국 KTX에서 부산에 도착을 하잖아요? 부산에 도착하기 전까지의 '움직임'을 화살표로 표시하고요.

도착점을 등호(=)로 표시하며, 극한(lim)의 값은 바로 그 도착지를 의미하는 겁니다.

그래서 위의 두산백과에서 극한의 정의가 접근을 '바탕'에 둔 개념이라고 한겁니다. 접근 자체가 아니라요!

그래서 리미트 오른쪽에 오는 식에서의 관점과 그 결과값의 관점은 조금 달라야 합니다.

예를 들어서

아래의 가우스 기호가 붙어있는 것을 살펴볼까요?([x]는 x보다 작거나 같은 최대의 정수)

(※ 여기서 3-는 오타가 아니라 3에게 왼쪽에서 다가오는 것을 의미합니다. 즉, 방향을 의미하는 기호입니다. -는 왼쪽에서, +는 오른쪽에서 다가가는 것을 의미합니다.)

1번을 볼까요. 3의 왼쪽에서 다가가는데 가우스를 씌웠습니다. 가우스는 자기보다 같거나 작은 최대의 정수를 의미하죠. 그런데 x가 3으로 다가가는데 절대 3은 아닙니다. 끝없이 3으로 다가가는 수일 뿐이죠. 게다가 3의 왼쪽에서 다가가니까 3보다 작은 쪽에서 2.9999...로 다가가는 느낌입니다. 즉, 3보다는 작은 수이기 때문에 x→3-일 때, [x]=2가 됩니다. 따라서 그 값에 lim를 붙여봤자 2인 것이죠.

그리고 2번을 볼까요. x→3-일 때 당연히 x가 3으로 가까이 가니까 그의 lim값은 3이 나오고 3의 가우스는 그대로 3입니다.

즉, 아래와 같이 생각하시면 됩니다.

시험문제에 특히 그래프와 관련되거나 합성함수의 극한 부분에서 자주 나오기 때문에

반드시 이해하고 계셔야 합니다.

3. 무한대의 개념

(1) 무한대와 무한소

극한에서 나오는 무한은 2가지가 있습니다.

무한대와 무한소입니다.

무한대는 끝없이 커져나가는 상태를 의미하고요. 

무한소는 끝없이 작아지는 상태인데, -∞의 의미와는 다르게 끝없이 0으로 가까워지는 것을 무한소라고 하죠.

우리가 극한에서 ∞/∞의 부정형의 형태를 많이 만나는데요.

그럴 때, 대부분은 최고차항으로 분자분모를 나눠서 '무한소'를 이끌어내서 무한히 작아지는 것을 0으로 치부해서 풀이합니다.

하지만 생각해보셨나요? 무한소가 정말 딱 0인가요? 아니죠! 0으로 가까이 가는 수 입니다. 그런데 왜 0으로 치부할까요? 그의 극한이 0인 것이지 정말 0이라고 보는 것은 아닙니다. 즉, 0으로 한없이 가까이 가니까 그의 최종 목적지가 0이므로 극한이 0이 되는 것이죠. 계속 같은 말만 나오죠? 전부 본질은 하나이기 때문입니다. 아무튼, 예를 들어 n→∞일 때 1/n→0입니다. 즉, 0으로 다가가는 것이지 절대 딱 0이라고 치부할 수 없습니다. 하지만, 앞에서 배웠듯이 lim의 값, 즉, 극한(값)은 딱 0으로 볼 수 있는 것이죠.

그런데 한번 생각해 보아야 할 것이, 굳이 최고차항으로 나누지 않아도, 만약에 n→∞이라면 n+1도 무한대로 커져갑니다. 즉, n+1→∞입니다. 이게 무슨소리냐면 애초에 무한대 옆에 정지되어 있는 상수를 더하거나 빼도 영향을 받지 않는다는 겁니다.

비교하자면, 영원히 같은 속도로 달리는 자전거와 영원히 1의 위치에서 정지되어 있는 사람이 있다고 한다면, 결국 자전거와 사람의 거리는 영원히 멀어집니다. 즉, 달리는 자전거와 멈춰있는 사람의 거리는 무한대로 발산하는 거죠. 

이것은 값의 차이가 무한하다는 것을 의미합니다. 즉, 값의 차이가 무한해서 무한대의 값에 상수(정지한 수)가 영향을 미치지 못한다는 것이죠.

이렇게 설명할까요. 자전거의 입장에서 보면 오히려 1은 거꾸로가는 것 처럼 보이고, 0을 향해 가는 것 처럼 보일겁니다. 1이 0은 아니므로 절대로 1이 0으로 다가가지는 않지만, 상대적으로 자전거는 1에서 서있는 사람이 0으로 가는 것 처럼 보인다는 겁니다.

또 만약 이 상태에서 자전거보다 빠른 버스가 추월해서 간다면 어떨까요? 버스의 입장에서 보면 달리는 자전거나 멈춰있는 상수나 전부 뒤로 이동하는 것처럼 보입니다. 즉, 버스에 비한다면 자전거의 값도 0으로 가까이 가는 것 처럼 보이는 거죠.

따라서 대수학 용어로 정리하자면 무한대는 등급이 존재하며 고위의 무한대는 더 낮은 등급의 무한대나 상수나 무한소를 무시할 수 있다는 것이죠.

"고위의 무한대>>무한대>>상수>>무한소"

(2) 고위의 무한대(Infinity of higher order)

그러면 다시 수학으로 돌아와서 2차, 1차, 상수함수를 비교해 볼게요.

아래의 그래프는 1차함수인 y=x의 그래프와 상수함수인 y=2의 그래프입니다.

즉, 1차와 상수의 비교인 겁니다.

그래프의 왼쪽에서는 그렇게 큰 차이가 나지 않는 것처럼 보이지만, x가 커지면 커질수록 차이는 심해집니다.

오른쪽 그래프가 x가 100일 때의 그래프인데요. 너무 심하게 차이가 나니까 축소시킨 그래프입니다.

그랬더니 y=x에 비해 y=2의 그래프가 오히려 y=0에 달라붙어버리죠.

⇒ 1차가 상수에 비해 고위의 무한대입니다.

아래의 그래프는 2차와 1차와 상수함수의 그래프입니다.

점 A는 2차 위에 있는 점이고요. 점 b는 상수함수 위에 있는 점입니다.

x가 2.4일 때(왼쪽그림) 보다 x가 5만 되더라도 A점의 y값이 1차나 상수에 비해 치솟아 버리는 것을 볼 수 있습니다.

초록색 원은 동일x일 때, 1차 위의 점입니다.

⇒ 2차도 1차나 상수에 비해 고위의 무한대이기 때문에 점점 0으로 가까워지는 것처럼 보입니다.

주의할 점은 상수는 무조건 정지해 있는 형태로 고위의 무한대가 존재하지 않는 서로 동등한 숫자입니다.

계수가 다를 때를 생각해 볼까요?

아래와 같이 계수가 다를 때는 그저 계수가 높은 것에서 계수가 낮은 것의 비율이 일정하기 때문에

아무리 x를 증가시켜도 y의 비율은 일정하게 유지됩니다.

즉, 고위의 등급이라고 볼 수 없고, 계수가 낮은 것을 무시할 수 없다는 소리입니다.

정리하자면

다항함수에서 고위의 무한대는 차수로 구분할 수 있습니다.

다만 계수가 다르고 차수는 같을 때, 비율의 차이가 생길 뿐이지 

계수가 작은 것이 0으로 수렴하는 것처럼 보이지는 않습니다.

그래서 계수가 다른 것끼리 더하거나 빼도 계수만 풀이해주면 됩니다.

또한 문제를 풀 때,

우리가 풀던 방식처럼 최고차항으로 나눠서 무한소를 유도해도 되지만, 

무한대 자체의 성질에 따라서 최고위의 무한대만 남기고 무시해서 풀어도 상관없다는 점을 아시면 좋겠네요.

4. ∞/∞(분수)꼴과 ∞-∞(빼기)꼴 형태의 부정형

일단 먼저 빼기꼴을 살펴보도록 할게요.

사실 빼기꼴과 더하기꼴을 같이 살펴봐야 합니다. 

n→∞라고 합시다.

일단 n²+n+1의 경우에는 2차인 n²만 놔두고 n과 1은 무시하셔도 됩니다. n²-n-1의 경우도 마찬가집니다. 

그렇다면 (n²+1) - n²은 어떨까요? 물론 괄호를 풀고 그냥 계산해서 1이라고 풀면 됩니다.

하지만, (n²+1)를 보면 n²에 비해 1은 무시할 수 있지 않을까요? 이렇게 풀면 (n²+1) - n² = (n²) - n²이므로 0이 나와 버립니다.

즉, 잘못된 풀이라는 거죠. 왜일까요? 고등학교에 나오는 정석대로 풀지 않아서 그럴까요?

그렇다면 이번엔 최고차항으로 나눠볼게요.

앞의 (n²+1)만 최고차항인 n²로 나누고 n²를 다시 곱해서 원식과 똑같이 만들겠습니다.

이렇게 0이 나옵니다. 말씀드리지만 답은 0이 아닙니다. 답은 1입니다.

그러면 왜 자꾸 0이 나와버리는 걸까요?

문제는 바로 n제곱 분의 1을 0으로 치부해버려서 생기는 문제입니다.

예를 들어서, '자전거+사람'이라면 분명 자전거에 비해 사람은 0으로 치부할 수 있는데, 문제는 자전거를 치워버리면 자전거가 무시할 수 있는 효과가 사라져 버린다는 겁니다. 자전거가 존재해서 사람을 무시할 수 있던 것인데, 자전거가 결국 사라져 버리는 것이라면 애초에 자전거의 효과를 고려할 수 없다는 것입니다.

(n²+1) - n²에서 계수가 같고 차수가 같으니 분명이 동급의 무한대이므로, 동급인 최고차항이 사라져 버리므로 찌꺼기를 무시할 수 없다는 것입니다.

아시겠나요

다시 설명하자면, 애초에 빼기는 차이를 구하는 겁니다.

그런데 (n²+1)과 n²는 둘 다 2차로 같고, 계수마저 같으니 n이 무한대로 가면 서로 같은 등급의 무한대입니다.

즉, 2차의 무한대끼리의 빼기가 되므로 그 무한대 자체가 지워지는 겁니다.

따라서, 그 2차의 등급보다 낮은 등급만 남게 되므로 낮은 등급을 무시할 수 없게 된다는 것입니다.

루트가 붙은 것도 마찬가집니다.

아래를 봅시다.

결론적으로 만약 같은 등급의 무한대끼리의 뺄셈은 최고차항의 영향력이 사라지기 때문에

처음부터 최고위의 무한대를 배제하고 그보다 낮은 등급의 무한대만 남겨진다는 것입니다.

그것을 인지하지 않고 최고차항으로 나눠버리거나 최고차항만 남기고 무시하면 최고차항은 없어져 버릴텐데 아무것도 안남으니 당연히 답이 뭐가됬던 0으로 나오는 것 처럼 보이는거죠

그렇기 때문에 같은 등급의 무한대끼리의 뺄셈은 유리화하거나 어떻게던 최고차항을 사라지게 만들어서 풀이해야 한다는 결론입니다.