합성함수 미분 예시 - habseonghamsu mibun yesi

삼각함수는 조금 어려울 수 있는데영, 함수의 종류에 따라 미분이 다 다르기 때문이에영. 삼각함수의 미분 때문에 고통받는 횐님들은 이 글을 보고 암기하고 오시면 도움이 될 거예영. 공식을 다 암기하셨다는 가정 하에 설명을 해 볼게영.

이 아이는 웬만하면 치환을 해서 푸시는 걸 추천해영. 삼각함수는 공식을 써서 미분한 뒤 각도 부분에 나오는 함수를 미분한 아이를 한 번 더 붙여주면 됩니다. 예를 들어 y=sin(2x-1)을 미분한다고 하면 y=sin□로 바꾸어서 y'=cos□라고 쓴 다음에 □'을 곱해 주시면 돼영. 그러니까 답은 y'=cos(2x-1)×2=2cos(2x-1)이 됩니다.

4) 음함수

마지막으로 음함수예영. 음함수가 왜 여기 들어있냐고 하실 수 있지만, 음함수의 미분은 합성함수의 미분과 꽤 유사합니다. 그래서 한 번에 가르쳐 드리겠어영!!

우선 음함수라는 것은 f(x, y)=0꼴로 나타낸 함수를 말해영. 우리가 아는 y=2x도 y-2x=0으로 쓰면 음함수가 되지영. 그런데 우리가 미분하고 싶은 아이들은 원, 포물선, 타원, 쌍곡선처럼 x와 y가 섞여있거나 xⁿ, xy, yⁿ항 등이 들어있어서 y=f(x)로 표현하기 힘든 아이들을 뜻해영. 이런 아이들은 합성함수 미분처럼 풀어주면 1초컷이에영.

x²+xy+y²=3이라는 식을 봅시다. 이 식을 미분하라고 하면 dy/dx를 구하라는 뜻이에영. 주어진 식을 x로 미분하라는 거지영. x²은 미분이 가능한데, y²은 x로 미분이 안 되지영? 이럴 때 우선 y²을 y로 미분한 다음에 뒤에 dy/dx를 붙여주면 되는 거예영! 이것이 바로 합성함수의 미분이거든영. 그리고 xy를 미분할 때는 곱함수의 미분법인 미그그미를 활용하면 됩니다. 그러면 이 아이를 미분한 식은 2x+y+xdy/dx+2ydy/dx=0이 되고, 정리해주면 dy/dx=-(2x+y)/(x+2y)입니다. 분모가 0이면 안 되니, (x+2y≠0)을 꼭 써 주세영.

합성함수 미분법에서 중요한 것은,

① 누구를 치환할 것인가 ② 무슨 문자로 미분하고 있는가

예영. 이 두 가지에 유의하면서 풀어보세영!!

연습문제를 만들었으니, 한 번 위에서 배운 내용들을 적용해보세영~~

문제 다 풀고 스크롤해 주세영~~ (답 있음)

답은 이렇습니다.

7번 문제는 2번 합성돼 있는 아이라서, □로 치환한 뒤 △로 또 치환했어영. 이걸 굉장히 어려워하시더라고영. 정말 어려운 문제들은 3, 4번 치환해야 할 때도 있어영. 이런 문제를 잘 풀려면 연습뿐이겠졍.ㅠ

8번 문제는 다항함수꼴도 아니고 지수함수 꼴도 아닌, 양변에 ln을 씌워서 미분해야 하는 문제예영.

다항함수: y=xⁿ꼴 (밑이 변수)지수함수: y=a^x꼴 (지수가 변수)양변에 ln 취해야 풀리는 함수: y=x^x (밑과 지수가 모두 변수)

양변에 ln을 취하고 나서도 y를 미분할 때는 끝까지 집중을 해야 정답을 맞힐 수 있겠졍? 이과 미분 넘나 어려운 것.ㅠ 오늘 좀 어려웠네영. 하지만 횐님들은 잘하실 수 있을 거예영.

시그마 공식도 부숴보세영! 🦄

시그마 공식 부수기 (ΣK, ΣK², ΣK³)

횐님들~~~ 미적분 공식은 잘 외우고 계신가영?? 하루에 하나씩 외우면 크게 어렵지 않아영!! 오늘은 본격적으로 미적분을 공부할 때 방해가 되는 시그마 공식을 부숴보겠어영~~~ 수1을 열심히 공

수학2에서의 합성함수의 미분법

오늘은 미적분에 나오는 미분법 말고,

수학2에서 써먹을 수 있는

다항함수 위주로 다룰 거에요.

보통 수학2에서는 합성함수의 미분법을

따로 다루지 않기 때문에,

곱의 미분법을 다 풀어서 쓰던가,

아래와 같이 수학적 귀납법을 이용해서

증명 후, 사용합니다.

수학적 귀납법을 이용한 다항함수의 거듭제곱 형태 미분 증명

보통은 수학1을 먼저 배우므로

수학적 귀납법을 사용해서 증명하는 것 같아요.

우선은 가장 작은 자연수일 때

성립하는 걸 먼저 보여줍니다.

곱의 미분법을 사용하면 깔끔하게 나오므로

n=2일때가 쉽게 증명됩니다.

물론 아래와 같이 n=1일 때도 성립합니다만,

f(x)의 0제곱이 들어 있어서

전 n=2일 때를 사용했어요.

어차피 이 공식을 사용하는 상황은

n≥2일 때니까요.ㅎㅎ

귀납법에 의하여 된다는 걸 증명했으니,

공식을 똑바로 외워서 사용하시면 됩니다.

도함수의 정의를 이용한 합성함수의 미분법 증명

이번에는 p(x)=f º g(x) = f(g(x))로 두고

p'(x)를 도함수의 정의로 유도해보겠습니다.

분모/분자에 g(x+h)-g(x)를 곱해서

식을 분리하여 정리해주는 것이 핵심입니다.

이과생들은 보통 겉미분x속미분 이런식으로

외울텐데, 아직 바로 하는 게 익숙치 않다면

치환을 해서 대입하면서

초반에 익히도록 합시다.

합성함수의 미분법 예시

문제1

속에 들어있는 식이 복잡해 보인다면,

처음엔 그냥 치환해서 겉미분/속미분을 쓰고

대입하여 정리하셔도 됩니다.

문제2

특히나 거듭제곱하는 식이 일차식인 경우

속미분했을 때 숫자가 나옵니다.

빼먹지 말고 치환해서 쓰세요.

곱의 미분법으로 나올 때도

동일하게 해주시면 됩니다.

좀 더 익숙해지면 나중에는

치환하지 않더라도 한 번에 될 거에요.

그 때까지 화이팅입니다!