접선의 방정식 정의 - jeobseon-ui bangjeongsig jeong-ui

이 사진에서 제일 중요한 것은 바로 '접하는 점에서 기울기가 동일하다'입니다!!

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이러한 개념에서 파생시키는 문제는 보통 세가지 부류로 나뉩니다!!

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1. 접점의 좌표를 줄때(2017학년도 6월 평가원)

->난이도 하

2. 곡선 밖의 점의 좌표를 줄 때(2016학년도 수능)

->난이도 하,중하

3. 그래프와 연계되어 접선의 상황을 찾을 때

(주로 접선의 기울기 이용, 2018 학년도 6월)

-> 난이도 중상​

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이 세가지 유형 외에도 도구로써 접선의 방정식을 이용하는 경우는 많으나, 단독 문항으로 나오는 경우는 저 세가지가 대표적입니다!

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이 유형들 각각의 문제 풀이 방법을 실제 평가원 문항을 통해 살펴보도록 하겠습니다!!!

(더도말고 덜도말고 딱 세문제만 살펴보겠습니다 ㅎ)

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Ⅵ 도함수의 활용 

(1)접선의 방정식

: 접선은 말 그대로 접하는 직선을 의미합니다. 예를 들어, 어떤 함수에서 특정한 x값에 대하여 접하는 접선의 방정식을 구하라는 식의 문제가 있을 수 있겠죠.

직선이라는 소리는 당연히 기울기와 지나는 한 점만 알아야 방정식을 구할 수 있습니다.

기울기는 앞에서 배운 순간변화율이나 도함수를 이용하면 쉽게 구할 수 있고요. 지나는 점은 접점의 좌표로 주어지거나, 접점이 아닌 다른 한 점으로 주어질 수 있겠죠.

1. 접점의 좌표가 주어졌을 때, 접선의 방정식

함수 y=f(x)의 한 점 ( t , f(t) )을 지나는 접선의 방정식은

i) 접점의 좌표 : ( t , f(t) )라고 주어진 상황

ii) 기울기 : 함수 f(x)를 미분한 f'(x)를 구해서 접점의 좌표를 대입하여, 해당 접점에서의 기울기를 구한다.

iii) 지나는 점 : 접점의 좌표(t , f(t))가 지나는 점의 좌표가 된다.

iv) 방정식 : y = f'(t)(x-t) + f(t)

2. 기울기를 알 때의, 접선의 방정식

함수 y=f(x)에서 기울기가 m인 직선의 방정식은

i) 접점의 좌표 : 주어지지 않았으므로 임시방편으로 ( t , f(t) )라고 놓는다.

ii) 기울기 : 함수 f(x)를 미분한 f'(x)에서 접점의 좌표를 대입하여 만든 f'(t)=m이라고 놓고 t값을 구한다. 

t의 실근이 여러개인 경우는 해당 기울기를 가지는 직선이 한 개가 아닌 것을 의미한다.

iii) 지나는 점 : 접점의 좌표를 구하여 방정식을 만든다.

3. 곡선 밖의 한 점이 주어진 경우의 접선의 방정식

함수 y=f(x)의 밖의 점 (a , b)가 주어진 경우 직선의 방정식은

i) 접점의 좌표 : 역시 임시로 ( t , f(t) )라고 잡는다.

ii) 기울기 : 함수 f(x)를 미분한 f'(x)에서 접점의 좌표를 대입한 f'(t)를 기울기라고 놓고 방정식을 만든다.

iii) 지나는 점 : 지나는 점( a , b )를 만들어진 방정식에 대입하여 t값을 구한다. 

(t의 실근이 여러개인 것은 접선이 여러개가 생긴다는 의미이다.)

예제)

1) 곡선 y=x²위의 점 (1,1)에서의 접선의 방정식을 구하여라

[풀이]

접점의 좌표가 (1 , 1)로 주어졌다.

기울기는 도함수를 구하면 y'=2x이다. (1 , 1)를 대입하면 x=1이므로 기울기(y')=2이다.

즉, 지나는 점 (1,1)이고 기울기는 2인 방정식이다.

따라서 방정식은 y=2x-1이다.

2) 곡선 y=x²에 접하고 기울기가 -4인 접선의 방정식을 구하여라.

[풀이]

일단 접점의 좌표를 ( t , t² )이라고 놓자.

기울기는 도함수를 구하면 y'=2x이므로 접점의 좌표를 대입하면 기울기(y')= 2t이다. 기울기가 -4라고 주어졌으므로 2t=-4이므로 t=-2이다.

따라서 접점의 좌표는 ( -2 , 4 )이고 기울기는 -4인 방정식이므로

직선의 방정식은 y=-4x-4이다.

3) 점(0 , -4)에서 곡선 y=x²에 그은 접선의 방정식을 모두 구하여라.

[풀이1]

접점의 좌표를 ( t , t² )이라고 놓자.

기울기를 구하면 y'=2x이므로 접점의 좌표를 대입하면 2t임을 알 수 있다.

방정식을 세우면 y=2t(x-t)+t²이다. 이 직선이 ( 0 , -4 )를 지난다. 대입하자.

-4=-2t²+t²

정리하면 t²=4이므로 t=2 또는 t=-2이다. 각각의 방정식을 구하면

직선의 방정식은 y=4x-4 또는 y=-4x-4이다.

※ 직선의 방정식 식 세우기

ⓐ 기울기가 m이고 (a , b)를 지나는 직선의 방정식의 공식

 : y=m(x-a)+b

(또는 y=mx + ... 꼴로 유도한 다음 지나는 한 점을 식에 대입시키면 ...값을 구할 수 있습니다.)

ⓑ 두 점을 지나는 직선의 방정식 

: Δy/Δx를 통해 기울기를 찾으면 위의 ⓐ와 같은 방법이 됩니다.

ⓒ x절편(a,0)과 y절편(b,0)을 알 때의 직선의 방정식

: x/a+y/b=1

수학 공식 | 고등학교 > 접선의 방정식

접점이 주어진 경우

곡선 $ y = f(x) $ 위의 점 $ (a, \ f(a)) $에서의 접선의 방정식은

\begin{gather*}
y-f(a) = f'(a)(x-a)
\end{gather*}

곡선 $ y = x^3 - x $ 위의 점 $ (2, \ 6) $에서의 접선의 방정식을 구하여라.

$ y' = 3x^2 - 1 $이므로 $ x=2 $에서의 접선의 기울기는 $ 11 $이다. 따라서 접선의 방정식은

\begin{gather*}
y - 6 = 11(x-2) \ \ \therefore \ \ y=11x-16
\end{gather*}

기울기가 주어진 경우

곡선 $ y = f(x) $에 접하고 기울기가 $ m $이 접선의 방정식은

1. 접점의 $ x $좌표를 $ a $로 놓는다.
2. $ f'(a) = m $을 만족하는 $ a $를 구한다.
3. 기울기 $ m $과 접점의 좌표 $ (a, \ f(a)) $를 이용해서 접선의 방정식을 구한다.

곡선 $ y = x^3 $의 접선 중 기울기가 $ 3 $인 접선의 방정식을 구하여라.

$ y' = 3x^2 $이고, 접점의 $ x $좌표를 $ a $라고 하면,

\begin{gather*}
3a^2 = 3 \ \ \therefore \ \ a = \pm 1
\end{gather*}

$ a=1 $일 때 접점의 좌표는 $ (1, \ 1) $이고, 이 때 접선의 방정식은

\begin{gather*}
y-1 = 3 (x-1) \ \ \therefore \ \ y = 3x-2
\end{gather*}

$ a=-1 $일 때 접점의 좌표는 $ (-1, \ -1) $이고, 이 때 접선의 방정식은

\begin{gather*}
y-(-1) = 3 (x-(-1)) \ \ \therefore \ \ y = 3x+2
\end{gather*}

곡선 밖의 점이 주어진 경우

곡선 $ y = f(x) $ 밖의 점 $ (x_1, \ y_1) $에서 곡선에 그은 접선의 방정식은

1. 접점의 좌표를 $ (a, \ f(a)) $로 놓고 접선의 방정식을 구한다.
2. $ x=x_1 $, $ y=y_1 $을 대입하여 $ a $를 구한다.

점 $ (0, \ 2) $에서 곡선 $ y=x^3-x $에 그은 접선의 방정식을 구하여라.

접점의 좌표를 $ (a, \ a^3-a) $로 놓으면 접선의 기울기는 $ 3a^2-1 $이므로 접선의 방정식은

\begin{gather*}
y - (a^3-a) = (3a^2-1)(x-a) \\ \therefore \ \ y = (3a^2-1)x - 2a^3
\end{gather*}

접선이 점 $ (0, \ 2) $를 지나야 하므로 $ x=0 $, $ y=2 $를 대입하면

\begin{gather*}
2 = (3a^2-1) \cdot 0 - 2a^3 \ \ \therefore \ \ a = -1
\end{gather*}

이므로 접선의 방정식은

\begin{gather*}
y = ( 3 \cdot (-1)^2 - 1)x - 2 \cdot (-1)^3 \ \ \therefore \ \ y = 2x+2
\end{gather*}

두 곡선이 접할 조건

두 곡선 $ f(x) $, $ g(x) $가 $ x=a $에서 접할 조건은

\begin{gather*}
f(a) = g(a), \ \ f'(a) = g'(a)
\end{gather*}

두 곡선 $ y = x^3 + 3x $와 $ y=3x^2 + p $가 접하도록 하는 상수 $ p $의 값을 구하여라.

첫번째 곡선을 $ f(x) $, 두번째 곡선을 $ g(x) $라 하면

\begin{gather*}
f'(x) = 3x^2 + 3, \ \ g'(x) = 6x
\end{gather*}

접점의 $ x $좌표를 $ a $로 놓으면, $ f'(a) = g'(a) $이어야 하므로

\begin{gather*}
3a^3 + 3 = 6a \ \ \ \therefore \ \ a=1
\end{gather*}

$ f(a) = g(a) $이어야 하므로

\begin{gather*}
a^3 + 3a = 3a^2 + p \ \ \ \therefore \ \ p=1
\end{gather*}

JB2017/12/04 10:58수학 공식