01. 7,11의 배수를 시작하며... 7,11의 배수는 일반적인 교과과정에서는 일반적으로 언급되지 않고 경시문제에서 주로 언급이 되는데... 이번 시간에는 7, 11의 배수를 찾는 방법에 대해서 알아보고 연계된 문제에 대해서 파악해 보겠습니다. 열심히 공부하는 분들에게 조금이나마 도움이 되었으면 합니다. 02. 7의 배수를 판단법 ① 수에서 일의 자리수를 제거 ② 일의 자리수가 제거된 수에서 처음 수의 일의 자리수 2배를 빼서 7의 배수가 되면 된다. 예를 들면 154 → 15 - 8 = 7x1 154는 7의 배수 세자리수를 라고 두면
위를 7의 배수라고 가정하면... 처음수 대입하면
7의 배수가 되는 것을 알수 있다. 세자리수나 네자리수 정도에서 7의 배수 판단에 유용하게 사용할 수 있습니다. 03. 11의 배수를 판단법 홀수자리 숫자의 합 - 짝수자리 숫자의 합 = 11의 배수 세자리수를 라고 두면 따라서 a - b + c 가 11의 배수가 되면 된다. 홀수자리 숫자의 합 ( a + c ) - 짝수자리 숫자의 합 ( b ) 가 11의 배수가 되면 된다. 예를 들면 3091의 11의 배수를 판단하려면 홀수자리 숫자합 3+9 = 12 짝수자리 숫자합 0+1 = 1 12 - 1 = 11 따라서 3091은 11의 배수이다. 04. 1001을 이용한 7,11배수를 판단법 1001=7x11x13 이 됨으로 아주 큰 수에서 7,11,13의 배수를 판단할때는 직접적으로 아주 큰수의 경우에는 7배수와 11의 배수 판단법 보다는 1001의 배수가 되는지 판단하면 효과적으로 찾을 수가 있다. 예를들어 123123이 7의 배수인지 판단하려면 위에서 쓴 7의 배수 판단법이 풀려면 7의 배수 판단법을 여러번 사용해야 판단이 가능하다. 그러나 1001을 이용하면 1001의 배수가 되는 것은 쉽게 판단이 가능하기 때문에 이것을 이용하여 7의 배수가 되는 것을 판단할 수 있다. 1001이 7,11,13의 배수가 되는 것은 외워두면 배수 관련 고난도 문제 풀이시 유용하게 활용할 수 있다. 05. 도전문제 123123을 1이 아닌 두 수의 곱으로 나타낼 수 있는 경우의 수는? sol) 3,7,11,13,41 의 수를 가지고 두 수의 곱으로 만들면 된다. 1개, 4개로 나누어 곱하는 경우 : 2개, 3개로 나누어 곱하는 경우 : 따라서 나오는 경우의 수는 15가지 배수 판정법은 배수인지 확인하려는 수의 배수가 맞는지 간단히 확인하는 절차이다. 일반적으로 정수 에 대해 이 의 배수인지 확인하려면 이 으로 나누어 떨어지는지 확인하면 된다. 이때 이 클 때에는 나눗셈을 하는데 시간도 오래 걸리고, 틀린 답이 나올 수도 있다. 의 배수 판정법은 의 수론적 성질을 이용하여 의 자리수 에 대한 정보를 통해 이 의 배수인지 판정할 수 있는 절차이다. 배수 판정법은 자리수에 대한 덧셈, 뺄셈, 곱셈을 이용하기 때문에 나눗셈보다 간단하고, 아무리 큰 수라도 배수 판정을 보다 쉽고 빠르게 할 수 있다. 목록[편집]다음은 40까지 자연수의 배수 판정법이다.
→ 합성수의 배수판별이 필요할때는 해당 합성수의 소인수가 모두 몇 개인지 구한 다음 소인수로 나눠서 모두 만족하는지 확인하면 편하다. 이때 합성수의 소인수가 2개 이상인 경우에는 1과 자기 자신이 아닌 유니타리 약수의 공배수를 조건으로 하면 되며, 2나 5의 거듭제곱의 배수는 가장 끝에 있는 2 또는 5의 거듭 횟수 자리가 모두 0 또는 2나 5의 거듭제곱의 배수이면 된다. 그후부터는 그 규칙이 반복된다. 또한 일반적으로 1보다 큰 자연수 n에 대하여 n진법에서 n^^m^^-1 및 그 약수의 배수 (m는 2 이상의 자연수)일 필요 충분 조건은 일의 자리부터 m자리씩 끊어서 나뉜 수들을 모두 더한 값이 n^^m^^-1의 배수여야 한다는 것이다. n진법에서 1부터 수를 셀 경우 1, 2, 3, ... , (n-1), 10, 11, ... 이렇게 되는데 여기서 숫자가 하나씩 커질 때마다 일의 자리가 (n-1)에서 0으로 바뀌는 경우가 아니면 각 자리 숫자의 합은 1 증가하게 되며, 또한 숫자의 값이 하나씩 커질 때 일의 자리 숫자가 (n-1)에서 0으로 바뀌는 경우 나머지 자릿값 중 값이 1 증가하 는 것이 하나 있기 때문에 각 자리 숫자의 합을 (n-1)로 나눈 나머지는 (n-2)에서 0이 되거나 1 증가한다. 여기서 (n-1)이 (n-1)의 배수이므로 이것이 성립한다. 예를 들어 9의 배수는 10진법에서 각 자리숫자의 합이 9의 배수여야 하므로 그 약수인 3 역시 각자리 숫자의 합이 3의 배수여야 한다. 이를 확장하여 99와 99의 약수인 33의 배수는 일의 자리부터 2자리씩 끊어서 나온 수들을 모두 더한 값이 33, 99의 배수여야 한다는 것이다. 마찬가지로 27, 37, 111, 333은 999의 약수이고, 303과 909는 9999의 약수이고, 41, 123, 271, 369, 813, 2439 역시 99999의 약수이기 때문에 적용시킬 수 있다. 이론상 n진법에서 n과 서로소인 모든 자연수에 적용시킬 수 있지만, 순환마디가 너무 길다면 적용하는게 어려울 수 있다. 이러한 수는 n진법에서 역수를 소수 (decimal number) 로 표기할 경우 순순환 소수가 되며, 역수의 순환마디에 그 수를 곱하면 n^^m^^-1이 된다. n^^m^^+1 및 그 약수의 배수 (m은 2 이상의 자연수) 역시 이와 비슷한 방법으로 일의 자리부터 m자리씩 끊어서 이 수를 오른쪽부터 나열한 뒤, 빼고 더하는 방식을 이용하면 된다. 예를 들어 1001의 약수인 7, 11, 13, 77, 91, 143의 경우 일의 자리부터 3자리씩 끊어서 빼고 더하는 방식을 교대로 반복하면 된다. 73과 137은 10001의 약수이고, 9091 은 100001의 약수이며, 9901은 1000001의 약수이기 때문에 이 방법을 적용시킬 수 있다. 이 방법은 n진법에서 n과 서로소인 자연수여서 역수의 순환마디 길이가 짝수인 수 중 (n-1)과 서로소인 모든 수에 적용할 수 있다. 물론 순환마디가 너무 길 경우에는 적용하기가 힘들어진다.
43: 일의 자리를 지운수의 2배에 일의 자리와 나머지 자리를 더한수의 5배를 더한수가 43의 배수이면 43의 배수이다. 50: 맨 끝 두자리가 50의 배수이면 모두 50의 배수이다. 일반적인 방법[편집]모든 자연수의 배수판정법은 다음과 같은 방법으로 이끌어 낼 수 있다.
예시 1: 84[편집]앞에 나온 과정에 따라 84의 배수판정법을 만들면 다음과 같다.
위 결과를 모두 종합하면 다음과 같다. 84의 배수이려면 먼저 가장 끝의 2개의 자릿수가 0이거나 4의 배수여야 하고, 각 자리 숫자의 합이 3의 배수여야 하며, 배수판정하고 싶은 수를 n = 10a + b라 하면 a+5b가 7의 배수여야 한다. 예시 2: 455[편집]앞에 나온 과정을 따라하되 중간 과정을 생략하면 다음과 같다.
따라서 455의 배수이려면 먼저 맨 끝의 자릿수가 0 또는 5가 되어야 하고, a+5b가 7의 배수여야 하며, a+4b가 13의 배수여야 한다. 각주[편집]
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