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3. 저항의 합성[편집]3.1. 직렬로 연결된 저항의 합성[편집]R1 R2 ⋯ Rn ∘ − − / \ / \ / \ / − − − − / \ / \ / \ / − − ⋯ − − / \ / \ / \ / − − ∘\begin{array}{cccc} \!R_1 & \!\!\!\!\!\! \!R_2 & \!\!\! \cdots & \!R_n \\ \!\circ {\!-\!-} \!^\mathbf{\tiny /} \!\backslash \!/ \!\backslash \!/ \!\backslash \!_\mathbf{\tiny /} {\!-\!-} & \!\!\!\!\!\! {\!-\!-} \!^\mathbf{\tiny /} \!\backslash \!/ \!\backslash \!/ \!\backslash \!_\mathbf{\tiny /} {\!-\!-} & \!\!\! \cdots & {\!-\!-} \!^\mathbf{\tiny /} \!\backslash \!/ \!\backslash \!/ \!\backslash \!_\mathbf{\tiny /} {\!-\!-} \!\circ \end{array}R1∘−−/\/\/\/−−R2−−/\/\/\/−−⋯⋯Rn−−/\/\/\/−−∘ 위 그림과 같이 저항이 직렬로 연결되어 있을 때 합성저항은 다음과 같이 구할 수 있다. 먼저, KVL에 따라 폐회로 내에서 전압원의 전압은 각 저항에 걸리는 전압 강하의 합과 같아야 하므로 전압원의 전압을 VVV, 저항에 걸리는 전압 강하가 각각 V1,V2,⋯ ,VnV_1, V_2, \cdots, V_nV1,V2,⋯,Vn 이라고 하면 V=V1+V2+⋯+VnV = V_1 + V_2 + \cdots + V_nV=V1+V2+⋯+Vn 이고, 옴의 법칙 I=VRI = \dfrac VRI=RV을 변형하면 V=IRV = IRV=IR이므로 IR=I1R1+I2R2+⋯+InRnIR = I_1R_1 + I_2R_2 + \cdots + I_nR_nIR=I1R1+I2R2+⋯+InRn 한편, 직렬로 연결된 소자에 흐르는 전류는 모두 같으므로 IR=IR1+IR2+⋯+IRnIR = IR_1 + IR_2 + \cdots + IR_nIR=IR1+IR2+⋯+IRn 식을 정리하고 양 변에 III를 소거하면 IR=I(R1+R2+⋯+Rn)\cancel I R = \cancel I \left(R_1 + R_2 + \cdots + R_n\right)IR=I(R1+R2+⋯+Rn) 따라서, R=R1+R2+⋯+Rn=∑k=1nRkR = R_1 + R_2 + \cdots + R_n = \displaystyle\sum_{k = 1}^n R_kR=R1+R2+⋯+Rn=k=1∑nRk 3.2. 병렬로 연결된 저항의 합성[편집] R1 ∣ − − − − / \ / \ / \ / − − − − ∣ ∣ ∣ ∣ R2 ∣ ∘ − − − − ∣ − − − − / \ / \ / \ / − − − − ∣ − − − − ∘ ⋮ ⋮ ⋮ ∣ Rn ∣ ∣ − − − − / \ / \ / \ / − − − − ∣\begin{array}{rcl} & \!\!\!\!\!\! \!R_1 & \\ \!_\mathbf{\tiny \big|} & \!\!\!\!\!\! {\!-\!-}{\!-\!-} \!^\mathbf{\tiny /} \!\backslash \!/ \!\backslash \!/ \!\backslash \!_\mathbf{\tiny /} {\!-\!-}{\!-\!-} & \!\!\!\!\!\! \!_\mathbf{\tiny \big|} \\ \!\big| & & \!\!\!\!\!\! \!\big| \\ \!\big| & \!\!\!\!\!\! \!R_2 & \!\!\!\!\!\! \!\big| \\ \!\circ {\!-\!-}{\!-\!-} \!\big| & \!\!\!\!\!\! {\!-\!-}{\!-\!-} \!^\mathbf{\tiny /} \!\backslash \!/ \!\backslash \!/ \!\backslash \!_\mathbf{\tiny /} {\!-\!-}{\!-\!-} & \!\!\!\!\!\! \!\big| {\!-\!-}{\!-\!-} \!\circ \\ \!\vdots & \!\!\!\!\!\! \!\vdots & \!\!\!\!\!\! \!\vdots \\ \!\big| & \!\!\!\!\!\! \!R_n & \!\!\!\!\!\! \!\big| \\ \!^\mathbf{\tiny \big|} & \!\!\!\!\!\! {\!-\!-}{\!-\!-} \!^\mathbf{\tiny /} \!\backslash \!/ \!\backslash \!/ \!\backslash \!_\mathbf{\tiny /} {\!-\!-}{\!-\!-} & \!\!\!\!\!\! \!^\mathbf{\tiny \big|} \\ \end{array}∣∣∣∣∣∣∣∣∣∘−−−−∣∣∣⋮∣∣∣∣∣∣R1−−−−/\/\/\/−−−−R2−−−−/\/\/\/−−−−⋮Rn−−−−/\/\/\/−−−−∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣−−−−∘⋮∣∣∣∣∣∣ 위 그림과 같이 저항이 병렬로 연결되어 있을 때 합성저항은 다음과 같이 구할 수 있다. 먼저, KCL에 따라 어떤 마디에서 들어오는 전류의 합과 나가는 전류의 합은 같아야 하므로 전체 전류를 III, 저항에 흐르는 전류를 각각 I1,I2,⋯ ,InI_1, I_2, \cdots, I_nI1,I2,⋯,In 이라고 하면, I=I1+I2+⋯+InI = I_1 + I_2 + \cdots + I_nI=I1+I2+⋯+In 옴의 법칙에 따라 I=VRI = \dfrac VRI=RV이므로, VR=V1R1+V2R2+⋯+VnRn\dfrac VR = \dfrac {V_1}{R_1} + \dfrac {V_2}{R_2} + \cdots + \dfrac {V_n}{R_n}RV=R1V1+R2V2+⋯+RnVn 한편, 병렬로 연결된 소자에 걸리는 전압은 모두 같으므로 VR=VR1+VR2+⋯+VRn\dfrac VR = \dfrac V {R_1} + \dfrac V {R_2} + \cdots + \dfrac V {R_n}RV=R1V+R2V+⋯+RnV 식을 정리하고 양 변에 III를 소거하면 VR=V(1R1+1R2+⋯+1Rn)\dfrac {\cancel V}R = \cancel V \left(\dfrac 1 {R_1} + \dfrac 1 {R_2} + \cdots + \dfrac 1 {R_n}\right)RV=V(R11+R21+⋯+Rn1) 따라서, 1R=1R1+1R2+⋯+1Rn\dfrac 1 R = \dfrac 1 {R_1} + \dfrac 1 {R_2} + \cdots + \dfrac 1 {R_n}R1=R11+R21+⋯+Rn1 합성저항을 구하기 위해 양 변에 역수를 취하면, R=11R1+1R2+⋯+1Rn=(∑k=1n1Rk)−1R = \dfrac 1 {\dfrac 1 {R_1} + \dfrac 1 {R_2} + \cdots + \dfrac 1 {R_n}} = \left(\displaystyle\sum_{k = 1}^n \dfrac 1 {R_k}\right)^{-1}R=R11+R21+⋯+Rn11=(k=1∑nRk1)−1 3.3. 직류 회로에서의 동일 저항의 합성[편집]직렬연결일 때 합성저항 ∑k=1nRk\displaystyle \sum_{k=1}^{n} R_{k}k=1∑nRk의 값 (RRR 은 저항의 크기, nnn 은 개수) 은 ∑k=1nRk=R1+R2+R3+⋯+Rn = R+R+R+⋯+R = nR\displaystyle \sum_{k=1}^{n} R_{k} \\= R_{1}+R_{2}+R_{3}+\cdots+R_{n}\\~=~R+R+R+\cdots+R \\~=~nRk=1∑nRk=R1+R2+R3+⋯+Rn = R+R+R+⋯+R = nR 이다. 이를 두고 선형성을 띤다고 말하나, 여기서는 그렇게 현학적으로 설명할 필요는 없고, 쉽게 말해 정비례하는 것이며 개수만큼 곱해주면 된다. 한 편 병렬연결일 때 합성저항 ∑k=1nRk\displaystyle \sum_{k=1}^{n} R_{k}k=1∑nRk의 값은 ∑k=1nRk = 11R1+1R2+1R3+⋯+1Rn = 11R+1R+1R+⋯+1R = Rn\displaystyle \sum_{k=1}^{n} R_{k} \\~=~\dfrac{1}{ \dfrac{1}{R_{1}} + \dfrac{1}{R_{2}} + \dfrac{1}{R_{3}} + \cdots + \dfrac{1}{R_{n}} } \\ ~=~ \dfrac{1}{ \dfrac{1}{R} + \dfrac{1}{R} + \dfrac{1}{R} + \cdots + \dfrac{1}{R} } ~=~\dfrac{R}{n}k=1∑nRk = R11+R21+R31+⋯+Rn11 = R1+R1+R1+⋯+R11 = nR 이다. 직렬연결과는 다르게 변수 nnn에 관하여 반비례하며, 개수만큼 나눠주면 된다. 3.4. 기타[편집]병렬연결된 두 저항의 합성저항을 빠르게 구하기 위해서 R=11R1+1R2R = \dfrac 1 {\frac 1 {R_1} + \frac 1 {R_2}}R=R11+R211 대신 R1R2R1+R2\dfrac{R_1R_2}{R_1 + R_2}R1+R2R1R2를 쓰기도 한다. 외울 땐 주로 합 분의 곱으로 외운다. 세 개도 가능한데, R1R2R3R1R2+R2R3+R1R3\dfrac{R_1R_2R_3}{R_1R_2 + R_2R_3 + R_1R_3}R1R2+R2R3+R1R3R1R2R3로 쓴다. 단위가 크거나 4개 이상부터는 곱했을 때 숫자가 커지기 때문에 이 꼼수(?)를 쓰는 게 힘들어진다. 4. 초전도 현상[편집]온도가 일정 온도보다 낮아질 경우 저항이 0이 되는 현상을 초전도 현상이라고 한다. 이론상으로 초전도체와 전압원만으로 이루어진 폐회로에서 흐르는 전류의 양은 무한하게 된다. 고체 수은을 가지고 아주 낮은 온도에서의 전기 저항의 변화를 조사하던 헤이커 카메를링 오너스(Heike Kamerlingh Onnes, 1853~1926)는 1911년 4월 8일 절대온도 4.2K에 이르자 수은의 전기 저항이 갑자기 사라지는 것을 발견했다. 그 후 다른 여러 가지 물질에서도 초전도성이 발견되었다. 1913년에는 납이 7K에서 초전도체로 전환된다는 것이 발견되었고, 1941년에는 니오븀 질소가 16K에서 초전도체로 전환된다는 것이 발견되었다. 1986년에는 기존의 초전도체와는 다른 종류의 고온 초전도체가 발견되었다. 요하네스 게오르크 베드노르츠(Johannes Georg Bednorz, 1950~)와 카를 뮬러(Karl Alexander Müller, 1927~)는 전이 온도가 35K인 란타넘을 기반으로 하는 구리 산화물을 발견했으며(1987년 노벨 물리학상), 곧 란타넘을 이트륨으로 대체하면(YBCO) 전이 온도가 92K까지 올라갈 수 있다는 것을 발견했다. 이 온도는 액체 질소(끓는점 77K)를 이용하여 도달할 수 있는 온도여서 실용성 측면에서 매우 중요한 온도이다. 1993년경에는 전이온도가 138K인 수은, 구리, 바륨, 칼슘, 산소를 포함하고 있는 세라믹(HgBa2Ca2Cu3O8+δ)이 발견되기도 했다. 5. 저항의 이용[편집]백열전구가 우리 주위에서 가장 흔하게 볼 수 있는 저항이다. [1] 다만 이것만으론 전도체와 부도체와 반도체를 분류할 수는 있지만, 띠틈이라는 개념이 우선적으로 필요하다.[2] 교류에서의 축전기와 코일에 의한 저항은 '리액턴스'라고 한다.[3] 속도에 따라 동작하는 저항기 수를 조절하여 모터에 공급되는 전류를 조절했다. 물론 저항으로 전력을 갖다 버리는 방식이기 때문에 전력 효율이 매우 나쁜데다가 저항에서 뿜어져나오는 열기 때문에 기차 안이 더웠고, 1970년대 제어 소자에 반도체 소자가 적용되기 시작하고 가격이 크게 내려간 1990년대 후반부터는 대한민국에서는 저항제어를 적용한 전동차를 새로 제조하지 않고 있다. |
저항 열 관계 - jeohang yeol gwangye
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